a to kształt miski
Plus to uśmiech ∪, minus to smutna mina ∩. Im dalej od zera, tym węższa. ▶ 2:04
Najważniejszy trik: od wierzchołka 1 krok w bok to a w górę, 2 kroki to 4a, 3 kroki to 9a. Zawsze a razy krok do kwadratu.
Wierzchołek = adres paraboli
Złap kropkę i przesuń. Niebieska strzałka to p (w bok), pomarańczowa to q (w górę lub w dół). ▶ 5:45
Wierzchołek + jeden punkt = cały wzór
Wierzchołek daje p i q. Drugi punkt mówi, jak stroma jest miska, czyli daje a. ▶ 11:22
Z ogólnej do kanonicznej: policz p i q
Dwa krótkie rachunki i wpisujesz do wzoru. ▶ 22:08
Delta: czy parabola dotyka osi x?
Ciągnij wierzchołek w górę i w dół. Patrz, kiedy znikają zielone kropki. ▶ 28:42
Postać iloczynowa: miejsca zerowe na wierzchu
Ciągnij zielone kropki po osi. Wierzchołek zawsze stoi dokładnie pośrodku. ▶ 51:05
Wzory Viète'a: suma i iloczyn bez liczenia x
Znasz a, b, c, więc znasz sumę i iloczyn rozwiązań, nawet zanim je policzysz. ▶ 1:20:33
\(x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}\)\(x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}\)działa tylko, gdy rozwiązania istnieją: \(\Delta\ge0\)
Jak policzyć \(x_1^2+x_2^2\) i podobne, nie licząc \(x_1\) ani \(x_2\)
Po co to jest: z Viète'a od razu znasz dwie liczby: sumę \(S=x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}\) i iloczyn \(P=x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}\). Każde wyrażenie z tabelki da się zapisać tylko przez \(S\) i \(P\). Wstawiasz dwie liczby i masz wynik, bez liczenia brzydkich pierwiastków.
Przykład do wszystkich kart: \(x^2-5x+6=0\). Viète: \(S=\dfrac{5}{1}=5,\) \(P=\dfrac{6}{1}=6\). (Rozwiązania to 2 i 3, więc każdy wynik możesz sprawdzić na palcach.)
\(x_1^2+x_2^2\)
Skąd: \((x_1+x_2)^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2\). Kwadrat sumy ma o \(2x_1x_2\) za dużo, więc to odejmujesz.
\(=S^2-2P\)
\(5^2-2\cdot6=25-12=13\) sprawdzenie: \(4+9=13\) ✓
\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\)
Skąd: sprowadzasz do wspólnego mianownika \(x_1x_2\): na górze zostaje \(x_2+x_1\).
\(=\dfrac{S}{P}\)
\(\dfrac{5}{6}\) sprawdzenie: \(\tfrac12+\tfrac13=\tfrac56\) ✓
\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\)
Skąd: wspólny mianownik \(x_1x_2\), na górze wychodzi \(x_1^2+x_2^2\), a to już masz z pierwszej karty.
\(=\dfrac{S^2-2P}{P}\)
\(\dfrac{13}{6}\) sprawdzenie: \(\tfrac23+\tfrac32=\tfrac{13}{6}\) ✓
\(x_1^3+x_2^3\)
Skąd: \((x_1+x_2)^3=x_1^3+x_2^3+3x_1x_2(x_1+x_2)\). Sześcian sumy ma o \(3PS\) za dużo, więc to odejmujesz.
\(=S^3-3PS\)
\(125-3\cdot6\cdot5=125-90=35\) sprawdzenie: \(8+27=35\) ✓
\((x_1-x_2)^2\)
Skąd: \((x_1-x_2)^2=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\). Za \(x_1^2+x_2^2\) wstawiasz \(S^2-2P\) i odejmujesz jeszcze raz \(2P\).
\(=S^2-4P\)
\(25-24=1\) sprawdzenie: \((2-3)^2=1\) ✓
\(|x_1-x_2|\) (odległość między rozwiązaniami)
Skąd: to pierwiastek z poprzedniej karty. Skrót: wychodzi zawsze tyle samo co \(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\).
\(=\sqrt{S^2-4P}\)
\(\sqrt{1}=1\) sprawdzenie: \(|2-3|=1\) ✓
Znaki rozwiązań, nie licząc samych rozwiązań
Jak to czytać: iloczyn \(P\) mówi, czy znaki są takie same (\(P>0\)) czy różne (\(P<0\)). Suma \(S\) mówi, czy oba są na plusie (\(S>0\)) czy na minusie (\(S<0\)). Delta pilnuje, żeby rozwiązania w ogóle były.
dwa różne rozwiązania
\(a\neq0,\ \ \Delta>0\)
Skąd: delta dodatnia to parabola przecina oś x w dwóch miejscach.
\(x^2-5x+6=0:\ \Delta=25-24=1>0\) ✓ (2 i 3)
oba dodatnie
\(\Delta>0,\) \(P>0,\) \(S>0\)
Skąd: plus razy plus daje plus, plus dodać plus daje plus.
\(x^2-5x+6=0:\ P=6,\ S=5\) ✓ (2 i 3)
oba ujemne
\(\Delta>0,\) \(P>0,\) \(S<0\)
Skąd: minus razy minus daje plus, minus dodać minus daje minus.
\(x^2+5x+6=0:\ P=6,\ S=-5\) ✓ (−2 i −3)
różne znaki
\(P<0\), czyli \(\dfrac{c}{a}<0\)
Skąd: plus razy minus daje minus. Delta jest wtedy dodatnia sama z siebie, nie musisz jej sprawdzać.
\(x^2-x-6=0:\ P=-6<0\) ✓ (−2 i 3)
Przepis na każde zadanie z parametrem m
- Warunek istnienia: \(a\neq0\) i \(\Delta>0\) (dwa różne) albo \(\Delta\ge0\). Rozwiąż to dla m.
- Przepisz warunek z treści na sumę i iloczyn (tabelka wyżej).
- Wstaw Viète'a i rozwiąż nierówność dla m.
- Odpowiedź to część wspólna punktów 1 i 3.
Przykład (rozszerzenie): dla jakich m równanie \(x^2-2mx+m+2=0\) ma dwa różne rozwiązania i \(x_1^2+x_2^2>4\)?
1. \(\Delta=4m^2-4(m+2)>0\) \(\Rightarrow m^2-m-2>0\) \(\Rightarrow (m-2)(m+1)>0\) \(\Rightarrow m\in(-\infty,-1)\cup(2,\infty)\)
2. \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)
3. \(x_1+x_2=2m,\) \(x_1x_2=m+2\) \(\Rightarrow 4m^2-2(m+2)>4\) \(\Rightarrow 2m^2-m-4>0\) \(\Rightarrow m<\tfrac{1-\sqrt{33}}{4}\ \text{lub}\ m>\tfrac{1+\sqrt{33}}{4}\)
4. \(\tfrac{1-\sqrt{33}}{4}\approx-1{,}19\) i \(\tfrac{1+\sqrt{33}}{4}\approx1{,}69\), więc część wspólna: \(\boxed{m\in\left(-\infty,\tfrac{1-\sqrt{33}}{4}\right)\cup(2,\infty)}\)
Nierówność: gdzie parabola jest nad osią, a gdzie pod?
Zielone to plus, czerwone to minus. Niebieska kreska na osi to odpowiedź. ▶ 1:00:45
Brak miejsc zerowych? Cała parabola jest po jednej stronie osi, więc odpowiedź to wszystko (ℝ) albo nic (∅).
Własności czytasz z rysunku
Do wierzchołka jedziesz w dół, potem w górę (albo odwrotnie). Zielony pasek na osi y to zbiór wartości. ▶ 56:27
Największa i najmniejsza wartość na przedziale
Ciągnij niebieskie końce. Sprawdzasz tylko 3 punkty: oba końce i wierzchołek, jeśli leży w środku. ▶ 1:06:24
„Największe pole” = wierzchołek
Masz 20 m płotu na prostokąt. Przesuwaj bok x i patrz na pole. ▶ 1:12:38
Każde zadanie typu „największe / najmniejsze”: zapisz szukaną wielkość jako funkcję jednego x, a odpowiedź siedzi w wierzchołku.
Parametr m to suwak
Zadanie pyta: przy jakich położeniach suwaka są dwa rozwiązania? ▶ 1:20:33
Widzisz x⁴ albo √x? Podstaw t
Robi się zwykłe równanie kwadratowe. Ujemne t wyrzucasz. ▶ 1:35:02
\(x^4-5x^2+4=0\qquad t=x^2\)
\(t^2-5t+4=0\) \(\Rightarrow t=1\ \text{lub}\ t=4\)
\(x^2=1\ \text{lub}\ x^2=4\) \(\Rightarrow \boxed{x\in\{-2,-1,1,2\}}\)
\(x-\sqrt{x}-2=0\) \( t=\sqrt{x}\)
\(t^2-t-2=0\) \(\Rightarrow t=2\ \text{lub}\ t=-1\) ✗
\(\sqrt{x}=2\) \(\Rightarrow \boxed{x=4}\)
Ściąga: pytanie → co robisz
Znajdź pytanie z zadania, zrób to, co w niebieskiej ramce. Zielony wiersz to gotowy przykład.
wierzchołek, oś symetrii
\(p=\dfrac{-b}{2a},\ \ q=f(p)\)
\(y=x^2-4x+1:\ p=\dfrac{4}{2}=2,\) \(q=4-8+1=-3\) \(\Rightarrow W(2,-3)\)
miejsca zerowe, równanie
\(\Delta=b^2-4ac,\) \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x^2-5x+6=0:\ \Delta=1,\) \(x=\dfrac{5\pm1}{2}\) \(\Rightarrow 2\ \text{i}\ 3\)
Brak c? Wyłącz x przed nawias: \(x^2-4x=0\) \(\Rightarrow x(x-4)=0\) \(\Rightarrow 0\ \text{i}\ 4\)
wzór funkcji
Znasz wierzchołek → \(y=a(x-p)^2+q\). Znasz miejsca zerowe → \(y=a(x-x_1)(x-x_2)\). Brakujące \(a\) liczysz, wstawiając podany punkt.
\(W(1,2)\), punkt \((2,5)\): \(5=a\cdot1^2+2\) \(\Rightarrow a=3\) \(\Rightarrow y=3(x-1)^2+2\)
nierówność
Miejsca zerowe → szkic paraboli → czytasz, gdzie jest nad osią (+), a gdzie pod (−).
\(x^2-5x+6<0:\) zera 2 i 3, ramiona w górę, pod osią jest środek \(\Rightarrow x\in(2,3)\)
zbiór wartości, rośnie / maleje
Narysuj ∪ albo ∩ z wierzchołkiem i odczytaj z rysunku.
\(y=(x-2)^2-3:\) wartości \(\langle-3,\infty)\), maleje do 2, rośnie od 2
max / min na przedziale
Policz \(f\) na obu końcach i w wierzchołku (tylko jeśli leży w przedziale). Największa i najmniejsza z tych liczb to odpowiedź.
\(y=x^2-4x+1\) na \(\langle0,3\rangle:\ f(0)=1,\) \(f(3)=-2,\) \(f(2)=-3\) \(\Rightarrow \) max 1, min −3
„największe”, „najmniejsze”
Zapisz szukaną rzecz jako funkcję jednego x. Odpowiedź siedzi w wierzchołku.
20 m płotu: \(P=x(10-x)\), \(p=5\Rightarrow\) kwadrat 5 × 5, pole 25
suma, iloczyn, \(x_1^2+x_2^2\)…
Przerób na \(S\) i \(P\) (karty w części o Viète'cie), wstaw liczby. Pamiętaj o \(\Delta\ge0\).
\(x^2-5x+6=0:\ x_1^2+x_2^2=5^2-2\cdot6=13\)
parametr m
Δ → przepisz warunek z treści na \(S\) i \(P\) → wstaw Viète'a → część wspólna.
\(x^2-2x+m=0\) ma dwa rozwiązania: \(\Delta=4-4m>0\) \(\Rightarrow m<1\)
\(x^4\) albo \(\sqrt{x}\)
Podstaw \(t\), rozwiąż zwykłe kwadratowe, ujemne \(t\) wyrzuć.
\(x^4-5x^2+4=0:\ t=1\ \text{lub}\ 4\) \(\Rightarrow x=\pm1,\) \(\pm2\)